川村先生&野﨑先生のロトナン確率講座

【第1回】初心者必見! ロト6(ロトシックス)当せん確率の計算

2017/03/06川村先生&野﨑先生のロトナン確率講座

いきなりですが問題です。

【問題1】

1~43の数字から6個の数字を選ぶロト6。組み合わせは全部で何通りあるでしょうか?

はじめに

皆さん、はじめまして。大学で確率論を教えています川村と申します。今回より確率の初学者向けにコラムを執筆していきたいと思います。初学者と書きましたが、皆さんも中学校の数学から少しずつ学んでいるはずです。もう覚えてないよ!と言う方に、本コラムでは、ロトナンバーズに関係がある部分を解説していきたいと思います。

ロトナン確率講座は、私と野の二人で進めていきます。主に、確率の基礎とロトの確率講座を川村が、期待値の基礎とナンバーズの確率講座を野が担当します。お楽しみに。

数え上げ 

さて問題1】は解けましたか? 答えは、6,096,454通りです。

ロト6の当せん確率を求めるのには、難しい数学は必要ありません。実は、確率の基本は「数え上げ」です。すべての場合を網羅的に調べ、当せんが出る場合の数を数えればよいのです。しかし、前出のようにロト6のすべての組み合わせは6,096,454通りあり、非常に数が大きく、数え上げるのが大変です。そこで、規則性を知って、効率的に数えようと言うのが確率論です。まずは実際に数え上げてみましょう。

ロト6の場合は143と数が多いので、わかりやすく15までに減らしましょう。この5個の数字から3個の数字を取り出すことを考えます。

【問題2】(3個を選ぶ:順番は気にしない場合)

1~5の数字から3個の数字を選ぶ組み合わせは全部で何通りあるでしょうか?


 

3個ずつの班を作っていきますよ。

123」「124」「125」「134」「135」「145」「234」「235」「245」「345

以上【問題2】の答えは10通りになります。「132」などは「123」と同じ班を表しますから、2回数えることはしません。重複しないように数え上げるために、小さい順(昇順)に数字は並べておくといいでしょう。

この数え上げは、下の図のような樹形図を書くとわかりやすいです。

■樹形図

並べる順番を気にする場合

数え上げについてはわかりましたね? 

それでは、次に並べる順番を気にして何通りあるかを考えてみます。ここでは次の問題を考えます。

【問題3】(3桁の整数を作る:並べる順番を気にする場合)

1〜5の数字が書かれたカードを3個並べ、3桁の整数を作ると何通りの整数が作れるでしょうか?

ただし、同じ数字は1回しか使えないとします。


この場合、「123」と「132」は別の整数ですから、さきほどのように「132」と「123」を同じとすることはできません。

大変ですが、樹形図にしてみましょう。樹形図にした場合以下のようになります。

■樹形図

 

ふー大変ですね。実は、樹形図を使わなくても簡単に解くことができます。

まず、百の位にくる数は155通りあります。次の十の位にくる数字は、百の位で使った数字を除く4通りあります。同様に、一の位は3通りあります。したがって、全部で5×4×3=60通りあります。樹形図で数えた場合と同じですね。

規則性から数式にする(順番を気にする場合)

さきほどの【問題3】「3桁の整数を作る」より、「5個の数字を3個並べる」場合は、5×4×3となるように「5から始まり、1つずつ小さい数にして、3回掛け算すればよい」と言う規則があることが分かります。

一般的に、

【規則1】(n個あるものからr個取り出して順番に並べる)

「n個あるものからr個取り出して順番に並べる」並べ方は、nから始まり、(n-1), (n-2),…と1つずつ小さい数にして、r個掛け算した個数通りある。

と言う規則が成り立ちます。

数式で書くと、

   n (n-1)(n-2) … (n-r+1) 

 

【問題3】を数式で書くと、

  5 ×(5-1)×(5-3+1)5×4×360

となります。

 

最初の【問題2】「5個の数字から3個を選ぶ」と【問題3】「3桁の整数を作る」の違いは何でしょうか?それは、並べる順番を気にするか?気にしないか?です。順番を気にせず班を決めるような場合は10通り、並べる順番を気にする場合は60通りとなりました。

並べる順番を気にしない数式に挑戦

n個の数字からr個取り出して順番に並べる」場合、つまり「nから始まり、1つずつ小さい数にして、r個掛け算する」場合、【規則1】のとおり、

              n (n-1)(n-2) … (n-r+1)

となります。

 

順番を気にしない場合はどうなのか?というと、もちろん便利な数式がちゃんとあります。まずはその前に、順番を気にしない場合と気にする場合の関係を見てみましょう。

順番を気にする【問題3】「3桁の整数を作る」の一般形を考えてみましょう。

 

【問題4(一般形:並べる順番を気にする場合)

1〜nまでの数字が書かれた玉が1個ずつ入っている袋から、r個の玉を取り出し、順番に並べる並べ方は何通りあるでしょうか?

ただし、同じ数字は1個しかありません。

 

この【問題4】の実際の手順を考えると

1)1~nまでの数字が書かれた玉が入った袋からr個の玉を選ぶ。

2)選んだr個の球を横一列に並べる。

となります。これは(1)→(2)の順に行えば良いですね。

仮に(1)の場合の数をC通りとします。これが知りたい数です。

2)は順番を気にする並べ方ですから【規則1】を使います。当てはめてみると、「r個の数字からr個取り出して順番に並べる」こと、つまりn=rの場合となります。だから

n (n-1)(n-2) … (n-r+1)

のnにrを入れて

r (r-1)(r-2)…(-r+1)       

つまり

r (r-1)(r-2)…×2×1

と表現できます。

 

(1)と(2)より【問題4】

C × r (r-1)(r-2)…×2×1  … (*)

通りとわかります。

 

一方、「1〜nまでの数字が書かれた玉が入った袋からr個の玉を取り出す横一列に並べる並べ方」は、【規則1】より

n (n-1)(n-2) … (n-r+1)

でした。これは式(*)と同じ数になるはずです。

つまり

n (n-1)(n-2) … (n-r+1)=C × r (r-1)(r-2)…×2×1

Cについて書き直すと、

C=n (n-1)(n-2) … (n-r+1) / (r-1)(r-2)…×2×1

という関係が成り立ちます。

 

以上から、「n個の数字が書かれた玉が入った袋からr個の玉を選ぶ組み合わせ」を求める数式は

n (n-1)(n-2) … (n-r+1) / (r-1)(r-2)…×2×1  … (☆)

となります。

 

組み合せの計算式(☆)  は、Combination (コンビネーション/組み合わせ)Cを用いて、nCrで表されます。

1番最初に樹形図を描いた【問題2】5個の数字から3個の数字を取り出す全組み合わせ」は、5C35×4×33×2×110通りと計算できます。樹形図で数え上げたときと同じになりました。

 

数学の記号を見ると難しく感じる人がいると思いますが、本当は組み合せの計算が簡単になっています。今までは、数え上げていましたが、これからは取り敢えず、「n個の数字からr個を選ぶ組み合せ」を見たら、計算せず、nCr通りと書いておけばよいのです。この値がいくつかを知りたくなったら、本コラムの計算式(☆)に当てはめてみればよいのです。簡単でしょう?

慣れるために、例題をやってみましょう。

例題

例題1:7人中3人を選ぶ組み合せは何通りあるか?

7C3 = 7x6x5 / 3x2x1 = 35通り

例題2:30人中2人を選ぶ組み合せは何通りあるか?

30C2 = 30×29 / 2×1 = 435通り

※答えは正解をクリック!

確率

組み合わせに何通りあるかが分かったら、確率を計算することは簡単です。くじの当せん確率は、

 当せん確率 = 当せんの個数 / 全体の場合の数

で求められます。

例えば、10枚のクジの内1枚にアタリが含まれている場合、アタリを引く確率は、1/10であることはすぐに分かりますね?前述の組み合わせの計算で学んだことは、この式の「全体の場合の数」を求めてきたことになります。

ロト6の確率を抽せん例で考えてみましょう。 143の数から6個の数字が選ばれる組み合わせは、【問題1】より全部で6,096,454通りありました。これが分母の「全体の場合の数」になります。2等以降もこの数は変わりません。一方、「当せんの個数」は1等、2等などで変わってきます。

例えば、図の抽せん結果の場合、1等は「05 11 20 32 36 43」の1通りです。したがって、1等の当せん確率は、16,096,454 となります。

終わりに

組み合せの考え方はいかがでしたでしょうか?確率を求めるためには、組み合せの場合の数を数え上げる必要があります。覚えて欲しいのは、計算の仕方ではなく、「n個の数字からr個を選ぶ組み合せは、nCr 通りと書くことができる」と言うことです。この計算は、本を見ながら当てはめればいいのです。試験じゃないので、カンニングしても怒られません(笑)。正しく式を立てることができれば十分なのです。

次回は、各等級ごとの確率をさらに計算していく予定です。

※次回は4月3日(月)更新予定です。お楽しみに!

確認問題

ロト7では、137の数字から7個の数字を選びます。全体の場合の数、つまり、何通りの組み合せがあるでしょうか?

正解は次回のコラムで発表!


川村 正樹(かわむら まさき)

1999年 筑波大学大学院工学研究科博士課程修了。博士(工学)。現在、山口大学大学院創成科学研究科准教授。
主な研究内容は、ニューラルネットワークの理論や、電子透かしモデルの復号アルゴリズムなど。著書「CentOS 7で作るネットワークサーバ構築ガイド」(秀和システム)などLinux関係の解説本を多数執筆。
山口大学卒業生のためなら、ロトナン確率講座講師を引き受けましょうと、本講座に着手。

 

イラスト/シライカズアキ

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