川村先生&野﨑先生のロトナン確率講座

【第3回】ロト7(ロトセブン)・ミニロト当せん確率の計算方法~各等級の当せん確率~

2017/05/01川村先生&野﨑先生のロトナン確率講座

川村です。

ロトナン確率講座の第2回はいかがでしたでしょうか? 確率講座と銘打っていますが、ほとんど組み合わせを数えることで終わっていますね。

前回の復習

さて、前回の第2回はロト6の各等級の当せん確率を計算しました。当せん条件として明記されている<条件1>と、当せん条件には書かれていない<条件2>を求めることがポイントでした。

前回の解答

前回の「確認問題」は

Q:ロト7の6等当せん条件は

「申込数字が本数字3個と一致し、さらにボーナス数字2個のうち1個または2個と一致」

です。この場合、何通りの組み合わせがあるでしょうか?

でした。答えは、次のとおりです。

答えをクリック!

答え 242,550通り

 

できましたか?

 

さて、確認問題の解説ですが、実は、今回の第3回の予習問題になっていました。しかも、一番難しい場合の計算でした。

えっ! 「確認」問題じゃないじゃん!( `・д))) なんでやねん!

とつっこまれそうですが

と言うわけで、今回の学習内容「ロト7の各等級の確率」を読んで頂ければ、答えが分かります。

今回は第1回と第2回の内容を応用して

              ・ロト7の各級の確率

              ・ミニロトの各級の確率

を求めていきます。

 

その前に、組み合わせの計算について、便利な公式を紹介しましょう。

7C6 の計算は

              7C6 = 7×6×5×4×3×2 / 6×5×4×3×2×1

となりますね?

分子の部分は7から1つずつ引いて、6回かけるとなります。6回もかけ算するのは面倒そうです。しかも、同じ数字が分母にも出てきています。ですから、一旦、書き下して、約分すれば計算量がぐんと減ります。

さらに、便利な公式があります。

rの値がnに近い場合は、この公式を使うとかなり楽になります。7C6 の計算の場合、

              7C6 = 7C(7-6)= 7C1 = 7 / 1 = 7

となります。かけ算の回数が一気に減りましたね。今回はこれを使います。

ロト7の各等級の当せん確率

ロト7の各等級の確率から考えましょう。ロト7は当せん数字(本数字とボーナス数字)と申込数字の一致条件に応じて等級があります。当せん条件は以下の表のとおりです。

2回の場合と同様に、ボーナス数字がある場合は後で考え、先に、本数字のみで当せんが決まる等級を考えましょう。

ロト7では、137の数字から7個の数字を選びます。全体の場合の数は、第1回の「確認問題」で出題し、この答えは、第2回で説明しました。

確率の分母となる全体の場合の数は、10,295,472通りとなります。

本数字のみの当せん確率(2等と6等以外)

●1等の当せん確率

1 等は「申込数字が本数字7個とすべて一致」が当せん条件です。これは、1通りしかありませんので、1/10,295,472 となります。

 

●3等の当せん確率

3等は「申込数字が本数字6個と一致」が当せん条件です。当せんの条件を書いてみると、次のようになります。

<条件1> 本数字7個の中から6個が一致する。

<条件2> 残りの1個は本数字とボーナス数字以外の数字ならば何でもよい。

2回で解説したロト6の場合と同様に、2つの条件があることに注意してください。

 

順番に計算してみましょう。

<条件1>は、7個の本数字の中から6個を選ぶ組み合わせになります。したがって、

              7C6 = 7C1=7通り

になります。今回、習った公式を利用してみました。

<条件2>を考えてみましょう。本数字とボーナス数字以外の数字の個数は、本数字7個とボーナス数字2個を除く、37-(7+2)=28個になります。28個の数字の中から1個を選ぶ組み合わせは、28C1=28通りになります。

以上より、<条件1><条件2>の場合の数を掛け合わせて、

              7C6 × 28C1=7×28=196 通り

となります。よって、当せん確率は、196/10,295,472 となります。

 

●4等の当せん確率

4等の当せん条件を書いてみましょう。

<条件1> 本数字7個の中から5個が一致する。

<条件2> 残りの2個は本数字以外の数字ならば何でもよい。

 

具体的に計算してみましょう。

<条件1>では、7個の本数字の中から5個を選ぶ組み合わせ、7C5 通り、つまり、

        7C5 = 7C2 = 7×6 / 2×1 = 21 通り

になります。ここでも、習った公式を利用してみました。

<条件2>3等の場合と異なります。ボーナス数字が含まれても、2等になることはないので、ボーナス数字が含まれても構いません。従って、本数字7個を除く、37-7=30個の数字の中から2個を選ぶ組み合わせ、30C2 通り、つまり

              30C2 = 30×29 / 2×1 = 435 通り

になります。

以上より、<条件1><条件2>の場合の数を掛け合わせて、

              7C5 × 30C2=21×435= 9,135 通り

となります。よって、当せん確率は、9,135/10,295,472 となります。

 

●5等の当せん確率

同様に、5等の当せん条件を書いてみましょう。

<条件1> 本数字7個の中から4個が一致する。

<条件2> 残りの3個は本数字以外の数字ならば何でもよい。

 

具体的に計算してみましょう。

<条件1>では、7個の本数字の中から4個を選ぶ組み合わせ、7C4 通り、つまり、

              7C4 = 7C3 = 7×6×5 / 3×2×1 = 35 通り

になります。

<条件2>では、4等と同様に30個の数字の中から3個を選ぶ組み合わせ、30C3 通り、つまり

              30C3 = 30×29×28 / 3×2×1 = 4,060 通り

になります。以上より、<条件1><条件2>の場合の数を掛け合わせて、

              7C4 × 30C3=35×4,060= 142,100 通り

となります。よって、当せん確率は、142,100/10,295,472 となります。

ボーナス数字を含む当せん確率(2等と6等)

さて、今度は、ボーナス数字を含む場合を考えてみましょう。

●2等の当せん確率

2等の当せん条件は、「申込数字が本数字6個と一致し、かつ、ボーナス数字2個のうち1個と一致」することです。これを条件に分けて書いてみます。

<条件1> 本数字7個の中から6個が一致する。

<条件2> ボーナス数字2個の中から1個が一致する。

 

具体的に計算してみましょう。

<条件1>では、7個の本数字の中から6個を選ぶ組み合わせ、7C6 通り、つまり、

        7C6 = 7C1 = 7 / 1 = 7 通り

になります。

<条件2>では、2個のボーナス数字の中から1個を選ぶ組み合わせ、2C1 通り、つまり、

              2C1 = 2 / 1 = 2 通り

になります。以上より、<条件1><条件2>の場合の数を掛け合わせて、

               7C6 × 2C1= 7×2= 14 通り

となります。よって、当せん確率は、14/10,295,472 となります。

 

●6等の当せん確率

6等当せん条件は「申込数字が本数字3個と一致し、さらに、ボーナス数字2個のうち1個または2個と一致」です。「1個または2個」のように「または」と書かれていますので、それぞれ分けて考えましょう。

当せんパターン① 本数字3個と一致し、ボーナス数字1個一致した場合

当せんパターン② 本数字3個と一致し、ボーナス数字2個一致した場合

 

【当せんパターンの場合】

当せんするには、本数字7個の中から3個が一致し、かつ、ボーナス数字が1個一致し、さらに、残り3個が本数字とボーナス数字以外の数字です。3つの条件があることに注意してください。

<条件1>:本数字7個の中から3個が一致する。

<条件2>:ボーナス数字2個のうち1個が一致する。

<条件3>: 残りの3個は本数字とボーナス数字以外の数字である。

 

具体的に計算してみましょう。

<条件1>7個の本数字の中から3個を選ぶ組み合わせになります。したがって、7C3 通りと書くことができます。

                            7C3 = 7×6×5 / 3×2×1 =35通り

<条件2>では、2個のボーナス数字から1個選ぶ組み合わせなので、2C1 通りと書くことができます。

                           2C1 = 2×1 /1 =2通り

<条件3>では、37個の数字から本数字7個と、ボーナス数字2個を除く37-(7+2)=28個の数字から3個を選ぶ組み合わせとなるので、28C3 通りと書くことができます。

              28C3  = 28×27×26 / 3×2×1 = 3,276 通り

以上より、<条件1><条件2><条件3>の場合の数を掛け合わせて、

            7C3×2C1×28C3  = 35×2×3,276=229,320通り

となります。

 

【当せんパターンの場合】

この場合は当せんするには、本数字7個の中から3個が一致し、かつ、ボーナス数字が2個一致し、さらに、残り2個が本数字とボーナス数字以外の数字である。となります。

<条件1>:本数字7個の中から3個が一致する。

<条件2>:ボーナス数字2が一致する。

<条件3>: 残りの2は本数字とボーナス数字以外の数字である。

<条件2><条件3>が変わったことに注意してください。

 

具体的に計算してみましょう。

<条件1>は当せんパターンの場合と全く同じですから、7C3=35通りと書くことができます。

<条件2>2C2 通りと書くことができます。これは1通りしかありませんね。

<条件3>では、本数字とボーナス数字以外の数字の個数は、当せんパターンの場合と同じ28個となります。この28個の数字から2個選ぶ組み合わせとなるので、28C2 通りと書くことができます。

              28C2 = 28×27 / 2×1=378通り

以上より、<条件1><条件2><条件3>の場合の数を掛け合わせて、

            7C3×2C2×28C2  = 35×1×378=13,230通り

となります。

 

当せんパターンと当せんパターンの場合がそれぞれ起り得るので、合計

              ① 229,320通り + ② 13,230通り=242,550通り

となります。

よって、当せん確率は、 242,550/10,295,472 となります。

ミニロトの各等級の当せん確率

次にミニロトを考えましょう。

ミニロトでは、1~31までの31個の数字の中から、異なる5個の数字を選びます。ミニロトの当せん条件は以下の表のとおりです。

全体の場合の数を求めておきます。31個の数字の中から5個の申込数字を選ぶ場合の数は、

              31C5 = 31×30×29×28×27 / 5×4×3×2×1 = 169,911 通り

となります。つまり、確率の分母となる全体の場合の数は、169,911 です。

もう慣れてきたと思いますので、各等級を順番に計算していきます。

 

●1等の当せん確率

申込数字がすべて本数字と一致する場合のみなので、1通りですから、当せん確率は、1 / 169,911 となります。

 

●2等の当せん確率

ミニロトではボーナス数字が1個あります。

<条件1>:本数字5個の中から4個が一致する。

<条件2>:ボーナス数字1個が一致する。

 

具体的に計算してみましょう。

<条件1>では、本数字5個の中から4個を選ぶ組み合わせになるので、

              5C4 = 5C1 = 5 通り

となります。

<条件2>は、ボーナス数字は1個しかありませんから、1通りです。

以上より、<条件1><条件2>の場合の数を掛け合わせて、

              5C4×1= 5通り

となります。よって、当せん確率は、 5 / 169,911 となります。

 

●3等の当せん確率

<条件1>:本数字5個の中から4個が一致する。

<条件2>:残りの1個は本数字とボーナス数字以外の数字である。

 

具体的に計算してみましょう。

<条件1>は、2等と全く同じなので、5通りになります。

<条件2>では、残りの1個がボーナス数字に一致してしまうと、2等になるので、本数字5個とボーナス数字1個を除く、31-(5+1)=25個の数字のいずれか1個になります。従って、 25C1 =25通り。

以上より、<条件1><条件2>の場合の数を掛け合わせて、

              5C4× 25C1 = 5×25=125 通り

となります。よって、当せん確率は、 125 / 169,911 となります。

 

●4等の当せん確率

<条件1>:本数字5個の中から3個が一致する。

<条件2>:残りの1個は本数字以外の数字である。

 

具体的に計算してみましょう。

<条件1>では、本数字5個の中から3個を選ぶ組み合わせになるので、

              5C3 = 5C2 = 5×4 / 2×1 =10 通り

となります。

<条件2>では、残りの2個にボーナス数字が含まれても2等になることはないので、本数字を除いた31-5=26個の数字の中から2個を選ぶ組み合わせになります。従って、

              26C2 =26×25 / 2×1 = 325通り

となります。

以上より、<条件1><条件2>の場合の数を掛け合わせて、

              5C3× 26C2 = 10×325=3,250 通り

よって、当せん確率は、 3,250 / 169,911 となります。 

今回のまとめ

1回〜第3回の内容を要点として、まとめてみましょう。

要点1「n個の数字の中からr個の数字を選ぶ組み合わせは、nCr 通りと書くことができる。」

要点2「各等級の当せん確率は、条件を分けて考えれば、計算ができる。」

これらの要点が理解できれば、当せん確率が求められます。これからロトを買うときにちょっと意識してみてください。ますますロトが楽しくなるはず!

 ※次回は6月5日(月)更新予定です。お楽しみに!

確認問題

仮に、ロト6に次のような特別賞が設定されたとします。この特別賞の当せん条件が「申込数字が本数字2個と一致し、さらに、ボーナス数字1個と一致」だった場合、何通りの組み合わせがあるでしょうか。

※正解は次回のコラムで発表!


川村 正樹(かわむら まさき)

1999年 筑波大学大学院工学研究科博士課程修了。博士(工学)。現在、山口大学大学院創成科学研究科准教授。
主な研究内容は、ニューラルネットワークの理論や、電子透かしモデルの復号アルゴリズムなど。著書「CentOS 7で作るネットワークサーバ構築ガイド」(秀和システム)などLinux関係の解説本を多数執筆。
山口大学卒業生の依頼を受け、卒業生のためならロトナン確率講座講師を引き受けましょうと、本講座に着手。

イラスト/シライカズア

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