川村先生&野﨑先生のロトナン確率講座

【第7回】ナンバーズ4当せん確率の計算 ~前編~

2017/09/04川村先生&野﨑先生のロトナン確率講座

あ、ビンゴ

♪ビンゴ〜! ビンゴ! ビンゴ!

      ♪ビンゴ〜! ビンゴ! ビンゴ!

のCMが耳に残りますね。あの踊りは難しそうです…

さて、今回(第7回)は、再び川村の担当に戻ります。

前回はナンバーズ3でしたね。今回はナンバーズ4を解説していきます。前回のナンバーズ3とケタ数が違うだけで基本は同じです。

また、前回の確認問題はナンバーズ4についてだったので、コラムの最後に解答を載せています。

ナンバーズ4の確率を求めよう

ナンバーズ4とは?

まずはナンバーズ4の説明を行います。

ナンバーズ4は4ケタの数字を当てる数字選択式宝くじです。申込カードに「自分の選んだ4ケタの数字」と「申込タイプ」をマークして購入します。申込タイプには、「ストレート」、「ボックス」、「セット」の3種類があります。ナンバーズ3と違ってミニはありません。

それぞれの申込タイプでの当せん条件は次の通りです。

 

【ストレート】 4ケタの数字と並びの順序が一致

【ボックス】  4ケタの数字が一致すれば並びの順序は関係なし

【セット】   ストレートとボックスに半分ずつ申し込むもの(ストレートの条件かボックスの条件を満たすと当せんになるが、当せん金額がストレート・ボックスよりも少ない)

 

前回と同様に、選んだ数字は、1ケタ目に“7”を選び、2ケタ目に“5”を選び、3ケタ目に“3”を選び、4ケタ目に“6”を選んだ場合には、

(7)(5)(3)(6)

と書くことにします。同様に、抽せん数字も1ケタ目に“7”が選ばれて、2ケタ目に“5”が選ばれて、3ケタ目に“3”が選ばれて、4ケタ目に“6”が選ばれた場合には、

(7)(5)(3)(6)

と書きます。

 

ここで注意して欲しいことは、それぞれの申込タイプの当せん確率と当せん金額(理論値)は以下①~④の場合で変わります。

 

①抽せん数字4個の数字が全て異なる場合

②抽せん数字4個のうち2個が同じ数字の場合

③抽せん数字4個のうち同じ数字の組み合わせが2組ある場合

④抽せん数字4個のうち3個が同じ数字の場合

 

 

下の表1、表2は①②の当せん確率と当せん金額(理論値)です。

今回は①②の確率をもとめてみましょう。

 

表1:抽せん数字が(1)(2)(3)(4)のとき(①4個の数字がすべて異なる場合)

当せん数字が「123」のような数字がバラのとき

 

表2:抽せん数字が(1)(1)(2)(3)のとき(②抽せん数字4個のうち2個が同じ数字の場合)

当せん数字が「1123」のように同じ数字が2つのとき

※ナンバーズ4の注意点※

「ボックス」「セット」はすべての数字が同じ(ゾロ目)では申し込みできません。

全体の場合の数

基本はナンバーズ3と同じです。

まずは全体の場合の数を数えましょう。ナンバーズ4では、各ケタで1,2,3,4,5,6,7,8,9,0の10個の数字を選びます。したがって、各ケタの数字の選び方は10通りです。10通りのものを4ケタ分選ぶので、全体の場合の数は

10×10×10×10=10,000通り

になります。

①抽せん数字4個の数字が全て異なる場合

ストレートで当せんする確率

ストレート、つまり、選んだ数字の順番と抽せん数字の並びが一致する場合の確率を求めてみましょう。ここでは、抽せん数字が、(2)(9)(5)(1)だとします。これに一致するのは、同じ(2)(9)(5)(1)を同じ順番で選んだときだけですので、1通りになります。したがって、ストレートで当たる確率は

(ストレートが当たる数字のパターン数)/ (全体の場合の数) = 1/10,000

となります。

ボックスで当せんする確率

ボックスは、選んだ数字の組みが順番に関係なく抽せん数字の全てに一致する場合になります。つまり、抽せん数字が、(2)(9)(5)(1)の場合、選んだ数字が、

(1)(2)(5)(9),(1)(2)(9)(5),(1)(5)(2)(9),(1)(5)(9)(2),(1)(9)(2)(5),(1)(9)(5)(2),

(2)(1)(5)(9),(2)(1)(9)(5),(2)(5)(1)(9),(2)(5)(9)(1),(2)(9)(1)(5),(2)(9)(5)(1),

(5)(1)(2)(9),(5)(1)(9)(2),(5)(2)(1)(9),(5)(2)(9)(1),(5)(9)(1)(2),(5)(9)(2)(1),

(9)(1)(2)(5),(9)(1)(5)(2),(9)(2)(1)(5),(9)(2)(5)(1),(9)(5)(1)(2),(9)(5)(2)(1),

の場合に当せんとなります。

 

さて、数字が増えてきたので、計算で何通りあるかを求めてみましょう。第1回の計算を覚えていますか?

ボックスは、抽せん数字の並びが違うものなので、4個の抽せん数字の並べ方になります。ここでは、順番を気にする場合だと言うことに気をつけてください。すなわち、

4×3×2×1 = 24 通り

となります。最初の数字は4個の数字どれでもよく、2番目は最初の数字を除く3個の場合があり…といった流れです。

セットで当せんする確率

セットはストレートとボックスを半々にかける買い方になります。基本的に当せんパターンは、ボックスと同じになりますが、並びも一致したときだけ、ストレートとになります。したがって、セットで当せんする確率は、ボックスと同じ

24 / 10,000

となります。この内、ストレートと同じ条件で当せんする(セットストレート)確率は、

1 / 10,000

となります。ただし、当せん金額はストレートで申し込んだ場合より少ないです。

ボックスと同じ条件で当せんするパターン(セットボックス)は、前述の24通りからストレートの場合を抜いた23通りになるので、当せん確率は

23 / 10,000

となります。

②抽せん数字4個のうち2個が同じ数字の場合

次に、抽せん数字4個のうち2個が同じ数字であり、残りは全て異なる場合を考えます。

ストレートで当せんする確率

ストレートは、同じ数字が含まれていても、完全に一致する場合なので、1通りになります。したがって、ストレートで当せんする確率は

1 / 10,000

となります。

ボックスで当せんする確率

ここでは、抽せん数字が、(1)(1)(9)(2)だとします。ボックスで当せんするには、

(1)(1)(2)(9),(1)(1)(9)(2),(1)(2)(1)(9),(1)(2)(9)(1),(1)(9)(1)(2),(1)(9)(2)(1),

(2)(1)(1)(9),(2)(1)(9)(1),(2)(9)(1)(1),

(9)(1)(1)(2),(9)(1)(2)(1),(9)(2)(1)(1),

の場合になります。したがって、12通りの場合があります。

 

数字に重複がある場合に何通りあるかも、確率の教科書には書かれていますが、少しややこしいので、直感的な説明だけしておきます。

全て異なる数字のボックスの場合は、①で計算したとおり、24通りありました。②の場合、1組の数字が同じ数字であるので、その分2回数えていることになります。したがって、

24 / 2 = 12 通り

と計算することができます。

セットで当せんする確率

セットはストレートとボックスを半々にかける買い方になります。当せん確率はボックスと同じ

12 / 10,000

となります。この内、ストレートと同じ条件で当せんする(セットストレート)確率は、同じく

1 / 10,000

となります。また、ボックスと同じ条件で当せんする場合(セットボックス)は、上記のボックスの当せんパターン12通りからストレートの場合を除いた11通りになります。したがって、当せん確率は

11 / 10,000

となります。

終わりに

今回は、ナンバーズ4の当せんパターンのうち、4個の抽せん数字が全て異なる場合と、同じ数字が2個だけある場合について、当せん確率を求めました。当せんパターンは、4個の数字の並びを考えれば良いので、数え上げができますね。

※次回は10月2日(月)更新予定です。

確認問題

ナンバーズ4で、抽せん数字が(1)(1)(2)(2)である場合のボックスの当せんパターンを全て列挙してください。

前回の復習

前回の解答

前回の「確認問題」は

問題:ナンバーズ4で、抽せん数字が4つとも異なるとき(例えば、(9)(4)(6)(1)が抽せん番号)に、ストレート、ボックス、セット(ストレートとボックスを半分ずつ申込み)の当せん確率を求めてください。

でした。答えは、次のとおりです。

※答えをクリック!

■解答■

今回の計算を読んで頂けたら、結果はわかりますね?

ストレートの当せん確率 1 / 10,000

ボックスの当せん確率 24 / 10,000

セットの当せん確率 24 / 10,000

この内、ストレートとしての当せん確率 1 / 10,000

また、ボックスとしての当せん確率 23 / 10,000


川村 正樹(かわむら まさき)

1999年 筑波大学大学院工学研究科博士課程修了。博士(工学)。現在、山口大学大学院創成科学研究科准教授。
主な研究内容は、ニューラルネットワークの理論や、電子透かしモデルの復号アルゴリズムなど。著書「CentOS 7で作るネットワークサーバ構築ガイド」(秀和システム)などLinux関係の解説本を多数執筆。
山口大学卒業生の依頼を受け、卒業生のためならロトナン確率講座講師を引き受けましょうと、本講座に着手。

イラスト/シライカズア

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